Question

【題目】某單位建造一間地面面積為12的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度不得超過米，房屋正面的造價為400元/，房屋側面的造價為150元/，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3，且不計房屋背面的費用.

（1）把房屋總價表示成的函數，并寫出該函數的定義域；

（2）當側面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時，側面長度為4時，總造價最低，最低總造價是13000,當時，側面長度為時，總造價最低，最低總造價是

【解析】試題分析：（1）先求房屋正面以及側面面積，乘以對應單價得正面的造價與側面的造價，再加上屋頂和地面的造價得房屋總價，最后列出函數定義域（2）根據基本不等式求最值，對等號取得條件分類討論，對于等號取不到的情況，利用導數研究單調性，根據單調性確定最值

試題解析：（1）由題意可得，

.

（2）當時， ，

當且僅當即時，等號成立

∴當時，有最小值

若，可由單調性的定義或導數判定函數可知

在上是減函數

∴當時， 有最小值

故當時，側面長度為4時，總造價最低，最低總造價是13000

當時，側面長度為時，總造價最低，最低總造價是.