Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選講） 若f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值為3，則實數(shù)t的值是

 

．
B．（平面幾何選講） 已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點．∠ADF=

 

．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 直線

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)）被曲線ρ=

2

cos(θ-

π

4

)所截的弦長為

 

．

Answer 1

分析：A：首先分析題目已知不等式f（x）=|x-t|+|5-x|最小值為3，求實數(shù)t的值．考慮到根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，絕對值之和大于等于和的絕對值．即可求出f（x）≥|5-t|，即令|5-t|等于最小值即可解得答案．
B：根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過角的關(guān)系求解．
C：首先分析題目求的是直線被曲線截得弦長的問題，首先考慮題中直線是參數(shù)方程要先化為一般方程，而對于曲線是極坐標(biāo)方程也要化為一般的直角坐標(biāo)系方程，然后由點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，再用勾股定理求解弦長即可．

解答：A解：因為根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可以得到
f（x）=|x-t|+|5-x|≥|（x-t）+（5-x）|=|5-t|
又已知f（x）=|x-t|+|5-x|最小值為3，
故有|5-t|=3，即可解出t=2或8．
故答案為：2或8．
B解：設(shè)∠EAC=α，根據(jù)弦切角定理，∠ABE=α．
根據(jù)三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的內(nèi)角平分線，所以FCE=45°-α．（5分）
再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）
根據(jù)對頂角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）
故答案為：45°．
C解：將方程

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)），化為普通方程3x+4y+1=0，
將方程 ρ=

2

cos(θ-

π

4

)化為普通方程x²+y²-x-y=0，
此方程表示圓心為 （

1

2

，

1

2

），半徑為

2

2

的圓．
則圓心到直線的距離 d=

1

10

弦長=2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

故答案為：

7

5

．

點評：A此題主要考查絕對值不等式的性質(zhì)“絕對值之和大于和的絕對值”的應(yīng)用，避免了分類討論去絕對值的繁瑣，有一定的技巧性，屬于中檔題目．
B本題的涉及很獨到，試題涉及成動態(tài)的，即點C是可變的，在這個動態(tài)中求解其中的一個不變量．解決這類試題要善于抓住主要的變化關(guān)系，如本題中主要的變量就是∠AEC，抓住這個變量后，其余的角可以使用這個變量進(jìn)行表達(dá)，通過各個角的關(guān)系證明求解的目標(biāo)與這個變量沒有關(guān)系．
C此題主要考查直線的參數(shù)方程化一般方程和圓的極坐標(biāo)方程化一般方程的求法，其中應(yīng)用到點到直線距離公式及勾股定理，屬于綜合性的試題有一定的難度．