Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁D、BD的中點，G在棱CD上，且CG=，應用空間向量的運算辦法解決下列問題：

（1）求證：EF⊥B₁C；

（2）求EF與C₁G所成角的余弦；

（3）若A為C₁G的中點，求FH的長.

Answer 1

思路分析：利用空間向量的基礎知識，證明異面直線垂直，求異面直線所成的角及線段的長度.

解：如圖，建立空間直角坐標系O—xyz,

D為坐標原點O，由已知，有E（0，0，），F（，，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），B₁（1，1，1），G（0，，0）.

（1）∵=（，，0）-（0，0，）=（，，），

=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1），

∴=×(-1)+×0+()×(-1)=0.

∴.

∴EF⊥B₁C.

(2)∵=(0,,0)-(0,1,1)=(0,,-1),

∴||=.

    由（1），得||=.

    且=.

    所以cos＜＞==.

（3）因為H是C₁G的中點，所以H（0，）.

    又F（2，0），

    故|FH|=||=.