Question

在△ABC中，|

AB

|=2，|

AC

|=1，已知D是BC邊上一點，AD平分∠BAC，

AD

=λ

AB

+μ

AC

則（　　）

• A、λ=

  2

  5

  ，μ=

  3

  5

• B、λ=

  3

  5

  ，μ=

  2

  5

• C、λ=

  1

  3

  ，μ=

  2

  3

• D、λ=

  2

  3

  ，μ=

  1

  3

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：根據已知條件AD平分∠BAC知道∠BAD=∠CAD，而根據向量夾角的余弦公式可得：

AB • AD

| AB || AD |

=

AC • AD

| AC || AD |

，所以便得到

AB

•

AD

=2

AC

•

AD

，所以帶入

AD

=λ

AB

+μ

AC

并整理可得，（μ-2λ）

AB

•

AC

=2(μ-2λ)，容易說明μ-2λ=0，從而得到μ=2λ，而符合這個條件的只有C．

解答： 解：如圖，cos∠BAD=cos∠CAD，cos∠BAD=

AB • AD

| AB || AD |

，cos∠CAD=

AC • AD

| AC || AD |

；
∴

AB • AD

2

=

AC

•

AD

；
即

AB

•

AD

=2

AC

•

AD

；
又

AD

=λ

AB

+μ

AC

；
∴

AB

•(λ

AB

+μ

AC

)=2

AC

•(λ

AB

+μ

AC

)；
∴4λ+μ

AB

•

AC

=2λ

AC

•

AB

+2μ；
∴(μ-2λ)

AB

•

AC

=2(μ-2λ)；
若μ-2λ≠0，則

AB

•

AC

=2cos∠BAC=2；
∴∠BAC=0°，與已知△ABC矛盾；
∴μ-2λ=0，即μ=2λ；
而符合μ=2λ的只有C．
故選C．

點評：考查向量夾角的余弦公式，以及向量的數量積的計算．