Question

已知中心在坐標原點焦點在軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是

試題分析：(Ⅰ)由題意可設橢圓的標準方程為            1分
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．                 2分
又,所以,                       3分
又由于                          4分
所求橢圓C的標準方程為                   5分
(Ⅱ)假設存在這樣的直線,設,的中點為
因為所以所以  ①
(i)其中若時,則,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得 ②            7分
則．               8分
代入①式得,即,解得               11分
代入②式得,得．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是          13分
點評：直線與橢圓相交時常將直線與橢圓聯立方程組，利用韋達定理找到根與系數的關系，進而將轉化為點的坐標表示，其中要注意條件不要忽略