Question

設(shè)橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標(biāo)原點）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

Answer 1

（I）橢圓的方程為；
（II）當(dāng)時，，故

試題分析：（I）由題設(shè)知，，， 由，
得．解得．所以橢圓的方程為
（II）方法1：設(shè)點，因為的中點坐標(biāo)為，
所以所以

．
因為點在圓上，所以，即．
因為點在橢圓上，所以，即．
故．
因為，所以當(dāng)時，
法2：由題知圓N: 的圓心為N；則

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；
因為點在橢圓上，設(shè)點所以，即．
又因為,所以；
因為，所以當(dāng)時，，故
方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，
由，解得．因為是橢圓上的任一點，設(shè)點，
所以，即．所以
故．
因為，所以當(dāng)時，，故
②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為； 由，解得或. 
不妨設(shè)E(0，3),F(0，1)； 因為點在橢圓上，設(shè)點所以，即
所以，故
因為，所以當(dāng)時，，故
點評：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況，易于忽視。熟練進行平面向量的坐標(biāo)運算，是正確解題的關(guān)鍵。