Question

已知：函數(shù)f(x)=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}對(duì)n≥2，n∈N總有an=f(

1

an-1

)，a1=1；
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：①{b_n}為{

1

an

}的子數(shù)列（即{b_n}中的每一項(xiàng)都是{

1

an

}的項(xiàng)，且按在{

1

an

}中的順序排列）②{b_n}為無窮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)和為

1

2

．這樣的數(shù)列是否存在？若存在，求出所有符合條件的數(shù)列{b_n}，寫出它的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)已知條件整理得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得到數(shù)列的規(guī)律，即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求和，最后再合并即可得到結(jié)論；
（3）先設(shè)b1=

3

2k+1

，公比q=

1

m

＞0，得到b1qn=

3

2k+1

•

1

mn

=

3

2p+1

（k，p∈N^*）對(duì)任意的n∈N^*均成立，故m是正奇數(shù)，又S存在，所以m＞1；再對(duì)m的取值進(jìn)行討論，即可得到所有符合條件的數(shù)列{b_n}，寫出它的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由f(x)=

2x+3

3x

，又an=f(

1

an-1

)=

2 an-1 +3

3 an-1

=

2+3an-1

3

=an-1+

2

3

（2分）
所以，{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，

2

3

為公差的等差數(shù)列，即an=

2n+1

3

（n∈N^*）（4分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)，an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-

4

3

an
所以 Sn=-

4

3

(a2+a4+…an)=-

4

3

a2+an

2

n

2

=-

2

9

n2-

2

3

n（6分）
當(dāng)n為奇數(shù)，則n-1為偶數(shù)，Sn=Sn-1+anan+1=-

2

9

(n-1)2-

2

3

(n-1)+

2n+1

3

2n+3

3

=

2n2+6n+7

9

（8分）
綜上：Sn=

- 2 9 n2- 2 3 nn為偶數(shù) 2n2+6n+7 9 n為奇數(shù)

（10分）
（3）設(shè)b1=

3

2k+1

，公比q=

1

m

＞0，則b1qn=

3

2k+1

•

1

mn

=

3

2p+1

（k，p∈N^*）對(duì)任意的n∈N^*均成立，故m是正奇數(shù)，又S存在，所以m＞1（12分）
當(dāng)m=3時(shí)，S=

1

2

，此時(shí)b1=

3

9

，bn=

3

3n+1

，成立                 （13分）
當(dāng)m=5時(shí)，S=

1

2

，此時(shí)b1=

2

5

∉{

1

an

}故不成立                   （14分）
m=7時(shí)，S=

1

2

，此時(shí)b1=

3

7

，bn=

3

7n

，成立                    （15分）
當(dāng)m≥9時(shí)，1-

1

m

≥

8

9

，由S=

1

2

，得b1≥

4

9

，設(shè)b1=

3

2k+1

，則k≤

23

8

，又因?yàn)閗∈N^*，所以k=1，2，此時(shí)b₁=1或b1=

3

5

分別代入S=

b1

1-q

=

1

2

，得到q＜0不合題意（18分）
由此，滿足條件（3）的{b_n}只有兩個(gè)，即bn=

3

3n+1

或bn=

3

7n

（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考查．其中涉及到數(shù)列的遞推式，以及數(shù)列的求和，屬于綜合性題目，考查計(jì)算能力以及分析能力．