Question

【題目】函數，．

（1）設是函數的導函數，求的單調區間；

（2）證明：當時，在區間上有極大值點，且．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）詳見解析．

【解析】

（1）求導可得，繼續求導得到，判斷的正負，進而可得到的單調區間；（2）由（1）可知，在上單調遞減，結合時，，可以證明為的極大值點，同時可以知道，而，所以有，再構造函數，利用導數可證明，即可得證.

解：（1）定義域為，

，，

令，，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由（1）可知在上單調遞減，∵，∴，，，設，∵，，∴，∴，∴，使得，時，，時，，所以為函數的極大值點．

∵，即①，，當時，，且由（1）可知在上單調遞減，所以，②，將①代入②整理得：，設，則，∴在上單調遞減，∴，所以當時，恒成立．