Question

【題目】如圖，在斜三棱柱中，，，，側面與底面ABC所成的二面角為，E，F分別是棱，的中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與底面ABC所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取BC的中點G，連接EG與的交點為P，連接PF，得到，利用線面平行的判定定理證明；

（Ⅱ）過作平面ABC，垂足為H，連接HC，得到就是直線與底面ABC所成的角，再利用題設條件和解三角形的知識，即可求解.

（Ⅰ）取BC的中點G，連接EG與的交點為P，則點P為EG的中點，連接PF，

在平行四邊形中，因為為的中點，所以，

而平面，平面，故平面.

（Ⅱ）過作平面ABC，垂足為H，

連接HC，則就是直線與底面ABC所成的角，

連接AH，并延長交BC于點G，連接GE，

因為，所以為的角平分線，

又因為，所以，G為BC的中點，

因為，，所以，

而，，所以，

于是為二面角的平面角，

由于四邊形為平行四邊形，得，

因為，所以，

連接，因為，，，所以，

所以，

在直角中，，

故直線與底面ABC所成的角為.