Question

已知多項式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.

(1)求f(－1)及f(2)的值；

(2)試探求對一切整數(shù)n，f(n)是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）0，17（2）見解析

【解析】(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明，對一切正整數(shù)n，f(n)是整數(shù)．

①當(dāng)n＝1時，f(1)＝1，結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N)時，結(jié)論成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整數(shù)，則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)

＝＋

＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.

根據(jù)假設(shè)f(k)是整數(shù)，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1顯然是整數(shù)．

∴f(k＋1)是整數(shù)，從而當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立．

由①、②可知對一切正整數(shù)n，f(n)是整數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)n＝0時，f(0)＝0是整數(shù)

(Ⅱ)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時，令n＝－m，則m是正整數(shù)，由(Ⅰ)知f(m)是整數(shù)，

所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)

＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整數(shù)．

綜上，對一切整數(shù)n，f(n)一定是整數(shù)．