Question

【題目】已知函數 ．任取t∈R，若函數f（x）在區間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）﹣m（t）．
（1）求函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）當t∈[﹣2，0]時，求函數g（t）的解析式；
（3）設函數h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中實數k為參數，且滿足關于t的不等式 有解，若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 ，

則f（x）的最小正周期為 ；

令 ，解得f（x）的對稱軸方程為x=2k+1（x∈Z）；

（2）解：①當 時，在區間[t，t+1]上， ，

m（t）=f（﹣1）=﹣1，

∴ ；

②當 時，在區間[t，t+1]上， ，

m（t）=f（﹣1）=﹣1，

∴ ；

③當t∈[﹣1，0]時，在區間[t，t+1]上， ，

，

∴ ；

∴當t∈[﹣2，0]時，函數 ；

（3）解：∵ 的最小正周期T=4，

∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t），

∴g（t+4）=M（t+4）﹣m（t+4）=M（t）﹣m（t）=g（t）；

∴g（t）是周期為4的函數，研究函數g（t）的性質，只須研究函數g（t）在t∈[﹣2，2]時的性質即可；

仿照（2），可得 ；

畫出函數g（t）的部分圖象，如圖所示，

∴函數g（t）的值域為 ；

已知 有解，即 k≤4g（t）max=4 ，

∴k≤4；

若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，

即H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集．

∵ ，

當k≤4時，∵h（x）在（﹣∞，k）上單調遞減，在[k，4]上單調遞增，

∴h（x）min=h（k）=1，

∵H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上單調遞增，

∴H（x）min=H（4）=8﹣2k，

∴8﹣2k≥1，即 ；

綜上，實數的取值范圍是 ．

【解析】（1）根據正弦型函數f（x）的解析式求出它的最小正周期和對稱軸方程；（2）分類討論 、 和t∈[﹣1，0]時，求出對應函數g（t）的解析式；（3）根據f（x）的最小正周期T，得出g（t）是周期函數，研究函數g（t）在一個周期內的性質，求出g（t）的解析式；畫出g（t）的部分圖象，求出值域，利用不等式 求出k的取值范圍，再把“對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立”轉化為“H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集“，從而求出k的取值范圍．