Question

若， (為常數).函數定義為：對每個給定的實數，

（Ⅰ）求對所有實數成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設為兩實數，滿足，且,若，

求證：函數在區間上的單調增區間的長度和為（閉區間的長度定義為）．

Answer 1

本小題主要考查函數的概念、性質、圖象以及命題之間的關系等基礎知識,考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.

解：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于

（對所有實數）這又等價于，即

對所有實數均成立.        （*）

  由于，故其最大值為，

  故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件。

（2）分兩種情形討論

     （i）當時，由（1）知（對所有實數），

則由及易知，

再由的單調性可知，

函數在區間上的單調增區間的長度

為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設，則，于是

   當時，有，從而；

當時，有

從而  ；

當時，，及，由方程

      解得圖象交點的橫坐標為

                          ⑴顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

 

綜上可知，在區間上，   （參見示意圖2）

故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為。