Question

求證：當f（x）=ax²+bx+c（a≠0）時，方程ax²+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x∈R使得a•f（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：結合二次函數和二次方程的特點，從必要性和充分性兩方面來證即可．
解答：證明：必要性：設方程ax²+bx+c=0有不等實根x₁＜x₂，
根據韋達定理有，，
取x==，代入函數解析式可得
f（x）==，
因為方程有兩個實根，所以b²-4ac＞0，
所以a•f（x）=＜0成立；
充分性：如果存在x使得a•f（x）＜0，即a²x²+abx+ac＜0在x=x處成立，
因為a²＞0，根據二次函數特點，x=處，a²x²+abx+ac 取得最小值，
為f（）=ac-，既然它是最小值，那么f（）≤f（x）＜0，
所以ac-＜0，即b²-4ac＞0，故原方程必然有2個不等實根；
綜上可得：方程ax²+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x∈R使得a•f（x）＜0．
點評：本題考查充要條件的證明，涉及一元二次方程根的分布，屬基礎題．