Question

求證：當f（x）=ax²+bx+c（a≠0）時，方程ax²+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x₀∈R使得a•f（x₀）＜0．

Answer 1

證明：必要性：設方程ax²+bx+c=0有不等實根x₁＜x₂，
根據韋達定理有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，
取x₀=

x1+x2

2

=-

b

2a

，代入函數解析式可得
f（x₀）=a(-

b

2a

)2+b(-

b

2a

)+c=

4ac-b2

4a

，
因為方程有兩個實根，所以b²-4ac＞0，
所以a•f（x₀）=

4ac-b2

4

＜0成立；
充分性：如果存在x₀使得a•f（x₀）＜0，即a²x²+abx+ac＜0在x=x₀處成立，
因為a²＞0，根據二次函數特點，x=-

ab

2a2

處，a²x²+abx+ac 取得最小值，
為f（-

ab

2a2

）=ac-

b2

4

，既然它是最小值，那么f（-

ab

2a2

）≤f（x₀）＜0，
所以ac-

b2

4

＜0，即b²-4ac＞0，故原方程必然有2個不等實根；
綜上可得：方程ax²+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x₀∈R使得a•f（x₀）＜0．