【題目】如圖1，在矩形
中，
，
，點
、
分別在線段
、
上，且
，
，現將
沿
折到
的位置，連結
，
，如圖2
（1）證明：
；
（2）記平面
與平面
的交線為
.若二面角
為
，求與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
(1)建立坐標系證明
，再由線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質證明
；
(2)根據公理
得到平面
與平面
的交線，再根據二面角定義得到二面角
的平面角，建立空間直角坐標系，利用向量法求
與平面
所成角的正弦值.
解：（1）證明：如圖
，線段
交于點
在
中，由
，
，
以點A為坐標原點，建立直角坐標系，則
，
即
，從而有
，
，
即在圖2中有
，，
，
平面
平面
平面，
；
（2）延長
，
交于點
，連接
根據公理得到直線即為，再根據二面角定義得到
.
在平面
內過點作底面垂線，為原點，分別以
、
、及所作為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標
則
，
，
，
，
，
，
，
設平面
的一個法向量為
，
由
，
取
，得
.
與平面
所成角的正弦值為
.
春雨教育同步作文系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，且橢圓過點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設直線
與交于
，
兩點，點
在上，
是坐標原點，若
，判斷四邊形
的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，
，AB的長為2百米，BC的長為1百米.
（1）若準備養一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，如圖（1），使得
，
，在△DEF內喂食，求當△DEF的面積取最大值時EF的長；
（2）若準備建造一個荷塘，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記
，求△DEF邊長的最小值及此時
的值.（精確到1米和0.1度）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知袋中裝有紅球，黑球共7個，若從中任取兩個小球（每個球被取到的可能性相同），其中恰有一個紅球的概率為
.
（1）求袋中紅球的個數；
（2）若袋中紅球比黑球少，從袋中任取三個球，求三個球中恰有一個紅球的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“共享單車”的出現，為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴重的
城市和交通擁堵嚴重的
城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：
（1）根據莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小（不要求計算具體值，給出結論即可）；
（2）若得分不低于85分，則認為該用戶對此種交通方式“認可”，否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”，請根據此樣本完成此列聯表，并據此樣本分析是否有
的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關；
|
| 合計 | |
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
（3）若此樣本中的城市和城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認可的條件下，此人來自城市的概率是多少？
（參考公式：
）
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
極坐標系的極點為直角坐標系
的原點，極軸為
軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，已知曲線
的極坐標方程為
.
（1）求
的直角坐標方程；
（2）直線
（
為參數）與曲線
交于
兩點，與
軸交于
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經觀測，某公路段在某時段內的車流量
(千輛/小時)與汽車的平均速度
(千米/小時)之間有函數關系：
．
（1）在該時段內，當汽車的平均速度為多少時車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.01)
（2）為保證在該時段內車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知梯形
中，
，
，
，四邊形
為矩形，
，平面
平面．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求平面與平面
所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得直線
與平面所成角的正弦值為
，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．
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