Question

【題目】某公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，，AB的長為2百米，BC的長為1百米.

（1）若準備養一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，如圖（1），使得，，在△DEF內喂食，求當△DEF的面積取最大值時EF的長；

（2）若準備建造一個荷塘，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記，求△DEF邊長的最小值及此時的值.（精確到1米和0.1度）

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值是65米，

【解析】

（1）設EF＝x，則可求CE，BE，DE，求得S△DEFx（1），x∈（0，2），由基本不等式可得：（1）（）2當且僅當x＝1時等號成立，從而可求當△DEF的面積取最大值時EF的長；

（2）設等邊三角形邊長為EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，由正弦定理及三角函數的性質可得y0.65，即可求得△DEF邊長的最小值及此時α的值．

（1）設，則，故，所以，S△DEF，，

因為S△DEF當且僅當（即EF長100米）時等號成立，

即（S△DE）max.

（2）設等邊三角形邊長為，在△EBD中，，，

由題意可知，則，所以，

即，即△DEF邊長的最小值是65米，

此時，，