Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作斜率為

3

的直線，該直線交拋物線于A、B兩點，交其準線L于點C，若|AF|=6，則此拋物線的方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A的坐標是（x_A，y_A），由焦半徑公式求出x_A，再由點斜式方程求出直線方程，把x_A代入直線方程求出y_A，把點A的坐標代入拋物線方程化簡后，求出p的值即可．

解答： 解：設A的坐標是（x_A，y_A），
因為|AF|=6，所以x_A+

p

2

=6，則x_A=6-

p

2

，①
由題意得焦點F的坐標是（

p

2

，0），
所以過F點且斜率為

3

的直線方程是y=

3

（x-

p

2

），
將①代入上式得，y_A=

3

（6-

p

2

-

p

2

）=

3

（6-p），
則A的坐標是（6-

p

2

，

3

（6-p）），代入y²=2px得，
p²-12p+27=0，解得p=3或p=9，
所以此拋物線的方程為y²=6x或y²=18x，
故答案為：y²=6x或y²=18x．

點評：本題考查拋物線的方程、焦半徑公式，以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．