Question

【題目】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求證：PB∥平面AEC．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，
AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥AB，AC⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB平面PAB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）證明：連接BD，與AC相交于O，連接EO，
∵ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，又E是PD的中點，
∴EO∥PB，
又PB不包含于平面AEC，EO平面AEC，
∴PB∥平面AEC．

【解析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，從而AC⊥平面PAB，由此能證明AC⊥PB．
（Ⅱ）連接BD，與AC相交于O，連接EO，由已知得EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．