Question

【題目】已知橢圓過點，順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為，點.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）已知點，是橢圓上的兩點.

（ⅰ）若，且為等邊三角形，求的面積；

（ⅱ）若，證明： 不可能為等邊三角形.

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據面積公式得到，以及點在曲線上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（ⅰ）根據等邊三角形的性質，可得直線的傾斜角是或，這樣求得直線的方程，聯立橢圓方程，得到點的坐標，求得面積；（ⅱ）因為，所以斜率存在，設直線的方程是，與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，并且表示線段中點的坐標，若是等邊三角形，則，可求得，不合題意.

試題解析：（Ⅰ）依題意， ， ，聯立兩式，解得， ，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）（ⅰ）由且為等邊三角形及橢圓的對稱性可知，直線和直線與軸的夾角為，由可得.

即或，當時， 的面積為；

當時， 的面積為.

（ⅱ）因為，故直線斜率存在，設直線， 中點為，聯立消去得，

由得到，①

所以， ，

所以.

又，若為等邊三角形，則有，

即，即，化簡得，②

由②得點橫坐標為，不合題意.

故不可能為等邊三角形.

（用點差法求點坐標也可）