Question

【題目】已知n∈N* ， 設Sn是單調遞減的等比數列{an}的前n項和，a1= 且S2+a2 ， S4+a4 ， S3+a3成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）記數列{nan}的前n項和為Tn ， 求證：對于任意正整數n， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數列 {an}的公比為q，由2（S4+a4）=S2+a2+S3+a3，

得（S4﹣S2）+（S4﹣S3）+2a4=a2+a3，即4a4=a2，

∴q2= ，

∵{an}是單調遞減數列，

∴q= ，

∴an=（ ）n．

（2）解：由（1）知 ，

∴ ，

① ，②

②﹣①得： ， ，

由 ，得T1＜T2＜T3＜…＜Tn，

故 ，

又 ，

因此對于任意正整數n，

【解析】（1）依題意可求得q= ，而a1=1，從而可求數列{an}的通項公式；（2）利用“錯位相減法”即可得出數列{nan}的前n項和為Tn ， 再利用放縮法即可證明．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．