Question

若橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，短軸的一個端點與左右焦點F₁、F₂組成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₂作直線l與橢圓C交于A、B兩點，線段AB的中點為M，求直線MF₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，進而根據題設的條件組成方程組求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）當直線l的斜率不存在時，AB的中點為F₂，直線MF₁的斜率k=0；當直線l的斜率存在時，設其斜率為m，直線AB的方程可知，與橢圓方程聯立消去y，設M（x₀，y₀），進而可表示出x₀和y₀，當m=0時，AB的中點為坐標原點，直線MF₁的斜率k=0；當m≠0時用x₀和y₀表示斜率，進而根據m的范圍確定k的范圍．綜合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由

a=2c a-c= 3 a2=b2+c2

?a=2

3

，c=

3

，b=3.
所以，橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

9

=1.
（Ⅱ）F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)，
當直線l的斜率不存在時，AB的中點為F₂，
直線MF₁的斜率k=0；
當直線l的斜率存在時，設其斜率為m，
直線AB的方程為y=m(x-

3

)，
由橢圓方程聯立消去y并整理得：(3+4m2)x2-8

3

m2x+12m2-36=0
設M（x₀，y₀），則x0=

4 3 m2

3+4m2

，y0=m(x0-

3

)=

-3 3 m

3+4m2

當m=0時，AB的中點為坐標原點，直線MF₁的斜率k=0；
當m≠0時，k=

y0

x0+ 3

=

-3m

8m2+3

，
|k|=

3|m|

8m2+3

=

1

8 3 |m|+ 1 |m|

≤

1

2 8 3 |m|• 1 |m|

=

6

8

∴-

6

8

≤k≤

6

8

且k≠0．
綜上所述，直線MF₁的斜率k的取值范圍是[-

6

8

，

6

8

]．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．