Question

若橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，短軸的一個端點與左右焦點F₁、F₂組成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₂作直線l與橢圓C交于A、B兩點，線段AB的中點為M，求直線MF₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，進而根據題設的條件組成方程組求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）當直線l的斜率不存在時，AB的中點為F₂，直線MF₁的斜率k=0；當直線l的斜率存在時，設其斜率為m，直線AB的方程可知，與橢圓方程聯立消去y，設M（x，y），進而可表示出x和y，當m=0時，AB的中點為坐標原點，直線MF₁的斜率k=0；當m≠0時用x和y表示斜率，進而根據m的范圍確定k的范圍．綜合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為
由
所以，橢圓C的方程為
（Ⅱ）、，
當直線l的斜率不存在時，AB的中點為F₂，
直線MF₁的斜率k=0；
當直線l的斜率存在時，設其斜率為m，
直線AB的方程為，
由橢圓方程聯立消去y并整理得：
設M（x，y），則
當m=0時，AB的中點為坐標原點，直線MF₁的斜率k=0；
當m≠0時，，

∴且k≠0．
綜上所述，直線MF₁的斜率k的取值范圍是．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．