Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點相同，若過右焦點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有兩個不同交點，則此雙曲線實半軸長的取值范圍是（　　）

• A、（2，4）
• B、（2，4]
• C、[2，4）
• D、（2，+∞）

Answer 1

分析：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即

b

a

＜1，求得a和b的不等式關系，進而根據b=

c2-a2

轉化成a和c的不等式關系，求得離心率的一個范圍，最后根據雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的半焦距c=4．
要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即

b

a

＜tan60°=

3

，
即b＜

3

a
∴

c2-a2

＜

3

a，
整理得c＜2a
∴a＞2，
又a＜c=4
則此雙曲線實半軸長的取值范圍是（2，4）
故選A．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質、圓錐曲線的共同特征．在求雙曲線實半軸長的取值范圍時，注意其值要小于4．