Question

【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠ BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC的中點.

(1)求證:直線DE與平面FGH平行;

(2)若點P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為,試確定點P的位置.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

取AD中點M，易得M在平面FHG。另一方面，MG∥DE。故直線DE與平面FGH平行

以A為坐標原點。建立合適的坐標系，設=λ=(0,2λ,0),求出平面PBD的一個法向量n1=(5-2λ,,2)。又平面ABP的一個法向量為n2=(0,0,1),又cos<n1,n2>=,即可得出λ的值。進而可求出P點坐標。

(1)證明取AD的中點M,連接MH,MG.

∵G,H分別是AE,BC的中點,

∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.

又MG∥DE,且DE平面FGH,MG平面FGH,

∴DE∥平面FGH.

(2)如下圖

在平面ABE內,過A作AB的垂線,記為AP,則AP⊥平面ABCD.

以A為原點,AP,AB,AD所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系A-xyz.

所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(,-1,0),F(,1,0).

則=(0,2,0),=(0,-4,2),=(,-5,0).

設=λ=(0,2λ,0),

則=(,2λ-5,0).

設平面PBD的法向量為n1=(x,y,z),

則

取y=,得z=2,x=5-2λ,

故n1=(5-2λ,,2).

又平面ABP的法向量為n2=(0,0,1),

因此cos<n1,n2>=,解得λ=1或λ=4.

故=4