Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋lnx.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)求證：當x>1時， x2＋lnx<x3.

Answer 1

【答案】 (1) f(x)的單調增區間為(0，＋∞) (2)略

【解析】

（1）對函數求導，根據定義域，即可判斷其單調性，從而知單調區間。

（2）證明當x>1時，，只需證當x>1時，，

可設，只需證明時，，因此，利用導數研究的單調性，得出，結論得證。

(1)依題意知函數的定義域為{x|x>0}，

∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，∴f(x)的單調增區間為(0，＋∞)．

(2)設g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，

∵當x>1時，g′(x)＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數，∴g(x)>g(1)＝>0，

∴當x>1時， x2＋lnx<x3.