Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在D₁C₁上，且D₁E=D₁C₁，試求直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，求出平面D₁AC的法向量，以及向量的坐標(biāo)，求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值，此值就是直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值．
解答：解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以為單位正交基底，
建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，
則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B₁（1，1，1），，，（2分）
所以，，（4分）
為平面D₁AC的法向量，
．（8分）
所以直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值為．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．