Question

【題目】已知函數，若函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是__________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

當時，將問題轉化為與函數、的交點個數，利用導數判斷出、的單調性；然后研究在上的零點個數，利用判別式、對稱軸以及函數過定點，分種三種情況即當時、當時或時，討論的取值范圍，從而得出結果.

由，

則，

當時，，恒過，

對稱軸，

當時，，在上有兩個零點，

當時，，在上有一個零點，

當時，在上無零點；

當時，令，則，

當時，，

當時，，

令，，

即在上單調遞增，所以；

令，則，

下面分三種情況討論：

（1）當時，在上有兩個零點，只需在有一個零點即可，

由，在上單調遞減，，

在上單調遞增，

根據，顯然成立，即在只有一個零點，

故滿足題意；

（2）當時，在上有無零點，

當時，在上有一個零點，

由（1）可知，在只有一個零點，不滿足題意；

（3）當時，需在有三個零點，

在上單調遞增，，

在上單調遞增，在上單調遞減，

為的極大值，且，

在同一坐標系中作出函數的大致圖像，如圖：

與兩函數有三個交點，則；

綜上所述，或

故答案為：或