Question

由y=0，x=8，y=x²圍成的曲邊三角形，在曲線弧OB上求一點M，使得過M所作的y=x²的切線PQ與OA，AB圍成的三角形PQA面積最大．

Answer 1

分析：首先根據已知條件求出切線方程，接著求出P，Q點的坐標，再列出關于面積的式子，利用導數求函數最值的方法求解即可．

解答：解：如圖，設點M（t，t²），
y=x²中，y′=2x，f′（t）=2t；
則過點M的切線的斜率為2t，即切線方程為y-t²=2t（x-t），（0≤t≤8）
當t=0時，切線為y=0，△PQA不存在，所以（0＜t≤8）．
在切線方程中令y=0，得到P點的橫坐標為

t

2

，令x=8，得到Q點的縱坐標為16t-t²
所以S_△PQA=

1

2

（8-

t

2

）（16t-t²），
令S′（t）=（8-

t

2

）（8-

3t

2

）=0；
解可得得t=16（舍去）或t=

16

3

；
由二次函數的性質分析易得，
t=

16

3

是S_△PQA=

1

2

（8-

t

2

）（16t-t²）的極大值點；
從而當t=

16

3

時，面積S（t）有最大值S_max=S（

16

3

）=

4096

27

，此時M（

16

3

，

256

9

）

點評：本題綜合性較強，主要考查導數的幾何意義的應用，還考查了用導數求函數的最值問題，本題符合高考考試大綱，是一道不可多得的好題，有一定的代表性．