Question

在正四面體ABCD中，E，F分別為BC，AD的中點，則異面直線AE與CF所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

分析：連接ED，取ED的中點M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=

1

2

AE，所以異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補角，然后在△MFC中，借助正弦或余弦定理解出所求的角．

解答：解：如圖所示：設正四面體ABCD的棱長為a，
連接ED，取ED的中點M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=

1

2

AE，
∴異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補角，
∵AE=CF=

3

2

a，
∴FM=

3

4

a
在Rt△MEC中，EC=

1

2

a，EM=

3

4

a，
∴MC=

7

4

a
∴cos∠CFM=

CF2+FM2-MC2

2×CF×FM

=

3 4 + 3 16 - 7 16

2× 3 2 × 3 4

=

2

3

．
故答案是：

2

3

．

點評：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力．求異面直線所成的角，一般有兩種方法，法一幾何法，即利用“作、證、求”求得角；法二向量法，即利用向量的數量積公式求向量的夾角的余弦值．