Question

在正四面體ABCD中，E、F分別是BC、AD中點，則異面直線AE與CF所成的角是

 

．（用反三角值表示）

Answer 1

分析：連接ED，取ED的中點M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=

1

2

AE，所以異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補角，然后在Rt△MEC中，借助正弦或余弦定理解出所求的角．

解答：解：如圖所示：設正四面體ABCD的棱長為a，
連接ED，取ED的中點M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=

1

2

AE，
∴異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補角，
∵AE=CF=

3

2

a，
∴FM=

3

4

a
在Rt△MEC中，EC=

1

2

a，EM=

3

4

a，
∴MC=

7

4

a
∴cos∠CFM=

CF2+FM2-MC2

2CF•FM

=

2

3

∴∠CFM=arccos

2

3

．
故選Arccos

2

3

點評：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力．求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數法和幾何法求解．