Question

【題目】已知命題方程在在存在唯一實(shí)數(shù)根；，.

（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由為真命題得出，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）令，并作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，得出當(dāng)直線與函數(shù)在上只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，可得出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，由命題為真命題得出，解出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍，再將的兩個(gè)取值范圍取交集可得出命題為真命題時(shí)的取值范圍.

（1），.

則命題為真命題時(shí)，有，則或.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）若命題為真命題，則真且真.

命題為真命題時(shí)，即方程在上存在唯一實(shí)數(shù)根，

令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

問題轉(zhuǎn)化為，在上存在唯一實(shí)數(shù)根，

令，則，.

作出函數(shù)在上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)在上有唯一交點(diǎn).

當(dāng)命題為真命題時(shí)，有，則.

因此，當(dāng)為真命題時(shí)，的取值范圍是.