Question

函數y=f（x）是定義在R上的恒不為零的函數，且對于任意的x、y∈R，都滿足f（x）•f（y）=f（x+y），則下列四個結論中，正確的個數是（　　）
（1）f（0）=0；     （2）對任意x∈R，都有f（x）＞0；     （3）f（0）=1；
（4）若x＜0時，有f（x）＞f（0），則f（x）在R上的單調遞減．

A．1個

B．2個

C．3個

D．0個

Answer 1

分析：首先令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可求出f（0）的數值，利用x=

x

2

+

x

2

代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得（2）正確．再設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
進而結合題意判斷其符號，即可得到答案．

解答：解：令x=y=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），
所以f（0）•f（0）=f（0），
解得：f（0）=0或者f（0）=1．
令x=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得代入f（0）•f（y）=f（y），
因為函數y=f（x）是定義在R上的恒不為零的函數，
所以f（0）=1．
所以（3）正確．
因為對于任意x∈R，都有f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=[f(

x

2

)]2 ≥0，并且 f(

x

2

)≠0，
所以f（x）＞0．
所以（2）正確．
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
因為x₁-x₂＜0，
所以f（x₁-x₂）＞f（0）=1，
所以f（x₁-x₂）-1＞0．
又因為f（x₂）＞0，
所以f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在R上是減函數．
所以（4）正確．
故選C．

點評：本題主要考查抽象函數的性質，解決抽象函數的方法一般是利用賦值法求值、判斷函數的單調性、判斷函數的奇偶性，此題考查形式的靈活變形運算的能力．