Question

（2008•盧灣區一模）（理）已知四邊形OABC為直角梯形，∠AOC=∠OAB=90°，PO⊥平面AC，且OA=3，AB=6，OC=2，PO=3．若

PD

=

1

3

PB

，求：
（1）點D的坐標；
（2）異面直線PC與AD所成的角θ（用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，找到各定點的坐標，設出D點坐標，利用

PD

=

1

3

PB

即可求出D點坐標．
（2）利用空間向量，把所求異面直線所成角轉化為空間向量的夾角，利用向量的夾角公式即可求出該角的余弦值，注意異面直線所成角的范圍是（0，

π

2

]．再利用反余弦表示即可．

解答：解：（1）以OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，3），B（3，6，0），A（3，0，0），C（0，2，0）
設D（x，y，z），則

PD

=（x，y，z-3），

PB

=（3，6，-3）
∵

PD

=

1

3

PB

，∴（x，y，z-3）=

1

3

（3，6，-3）
∴x=1，y=2，z=2
∴D（1，2，2）；
（2）∵

PC

=（0，2，-3），

AD

=（-2，2，2）
∴cos＜

PC

，

AD

＞=

PC • AD

| PC || AD |

=

4-6

4+9 4+4+4

=-

39

39

∴cosθ=

39

39

θ=arccos

39

39

．

點評：本題主要考查了利用空間向量解決立體幾何中異面直線所成角的大小．