Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，左頂點、上頂點分別為A，B，△OAB的面積為3（點O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P、Q分別是AB、橢圓C上的動點，且 =λ （λ＜0），求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵e= ，s△OAB= =3，a2﹣b2=c2∴a2=9，b2=4．

橢圓C的方程為：

（2）解：由（1）得A（﹣3，0），B（0.2），∴直線AB的方程為：2x﹣3y+6=0．

∵P、Q分別是AB、橢圓C上的動點，且 =λ （λ＜0），∴P、O、Q三點共線，

設直線PQ的方程為：y=kx （k＜0）

由 得P（ ，y1）．

由 得Q（ ，y2）

由 =λ （λ＜0）得

λ= =﹣

=﹣

∵k＜0∴9k+ ，∴﹣1＜λ＜≤﹣ ，

當直線PQ的斜率為0或不存在時，λ=﹣1，

綜上：實數λ的取值范圍：[﹣1，﹣ ]

【解析】（1）由e= ，s△OAB= =3，a2﹣b2=c2 ， 求得a2 ， b2即可．（2）由（1）得直線AB的方程為：2x﹣3y+6=0． 由 得P（ ，y1）．由 得Q（ ，y2）
由 =λ （λ＜0）得λ= =﹣ =﹣ 即可求解．