Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2
（2）若a＜0，求證：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．

|x﹣1|+|x﹣2|表示數軸上的點x到1、2對應點的距離之和，

而2.5 和0.5對應點到1、2對應點的距離之和正好等于2，

∴不等式的解集為[0.5，2.5]

（2）證明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|

≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），

∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立

【解析】（1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）+f（x+1）≤2的解集．（2）由條件利用絕對值三角不等式，證得不等式成立．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．