Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若與平行的直線與曲線交于，兩點．且在軸的截距為整數，的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．．（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）利用消參法將參數方程轉化為普通方程，由極坐標與直角坐標方程轉化公式，即可得直線的直角坐標方程.

（Ⅱ）由與平行，可設直線：，利用點到直線距離公式求得到直線的距離，由圓的幾何性質求得，結合三角形面積公式即可求得整數的值.

（Ⅰ）曲線C的參數方程，化為普通方程為．

由，

因為，，代入可得直線的直角坐標方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的直角坐標方程為，．

設直線：，由題知．

所以到直線的距離，

所以，

的面積為，所以，

整理得，

所以或，

因為，所以或．

所以直線的方程為或．