Question

設橢圓的左、右頂點分別為、，點在橢圓上且異于、兩點，為坐標原點.

（1）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（2）對于由(1)得到的橢圓，過點的直線交軸于點，交軸于點，若，求直線的斜率.

 

Answer 1

【答案】

(1) .

(2) 的斜率.

【解析】試題分析：(1)先求出A，B的坐標，然后利用與的斜率之積為,建立關于a的方程，從而求出a值，進一步可求出橢圓的離心率.

（2）設直線 的斜率為 , 直線的方程為,則有，

設，由于三點共線，且,

再把此條件坐標可知,從而得到或,

再利用點P在橢圓上，可建立關于k的方程求出k的值.

解：(1) 由已知,設.              …………1分

則直線的斜率,

直線的斜率.

由,得.                            …………2分

     …………3分

,得,                                        …………4分

.                                              …………5分

橢圓的離心率.                                        …………6分

(2) 由題意知直線的斜率存在.                                  …………7分

設直線 的斜率為 , 直線的方程為                 …………8分

則有，

設，由于三點共線，且

根據(jù)題意，得     …………9分

解得或             …………11分

又點在橢圓上，又由（1）知橢圓的方程為

所以…………①

或 …………②

由①解得，即,

此時點與橢圓左端點重合, 舍去;            …………12分

由②解得，即                             …………13分

直線直線的斜率.                              …………14分

考點：本小題主要考查直線斜率、橢圓的方程、離心率、向量的運算等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、方程的思想方法，考查綜合運用能力以及運算求解能力.

點評：兩點的斜率公式;另外解本小題的關鍵是條件的使用，實際上此條件是用k表示出點P的坐標，再根據(jù)點P在橢圓上，建立關于k的方程求出k值.