7、n∈N₊，C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=

n2^n-1

．

分析：本題中所求和中的每一項kC_n^k剛好是二項式^（1+x）ⁿ的通項C_n^kx^k的導數的系數，故可以先將二項式（1+x）ⁿ展開，然后兩邊求導，并將x取值為1即可求解為n2^n-1．（此外本題也可以用倒序相加法求解）

解答：解：∵（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x¹+C_n²x³+C_n³x³+…+C_nⁿxⁿ，兩邊同時求導可得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x¹+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1
令x=1，得n2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
故答案為n2^n-1

點評：本題主要考查二項式定理的應用，屬于中等難度題型，在處理有關二項式定理有關系數問題時通常與二項式中x賦值有關．

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）的定義域為（n，n+1）（n∈N^*），f（x）的函數值中所有整數的個數記為g（n）．
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（2）求g（n）的表達式；
（3）若對于任意的n∈N^*，不等式（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25（其中C_nⁱ，i=1，2，3，…，n為組合數）都成立，求實數l的最小值．

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（3）當n∈N*且n＞1時，求證2＜（1+

）ⁿ＜3．

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練習冊

高中

初中

小學

（1）求證：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N）
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（1）求證：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N）
（2）設n是滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數，求97ⁿ除以99的余數．
（3）當n∈N且n＞1時，求證2＜（1+ $數學公式$ ）ⁿ＜3．