Question

設正整數數列滿足：，且對于任何，有．
（1）求，；
（2）求數列的通項．

Answer 1

(1)  ， ；(2) .

試題分析：（1）令，根據算得,再根據是正整數，算得.
當時,同樣根據,將代入，得到的范圍，根據是正整數，求得.
(2）先根據可猜想，再用數學歸納法證明．
試題解析：解：（1）據條件得   ①
當時，由，即有，
解得．因為為正整數，故．
當時，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用數學歸納法證明．
1當，時，由（1）知均成立；
2假設成立，則，則時
由①得


因為時，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即時，成立．
由1，2知，對任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用數學歸納法證明．
1當，時，由（1）知均成立；
2假設成立，則，則時
由①得
即②
由②左式，得，即，因為兩端為整數，
則．于是③
又由②右式，．
則．
因為兩端為正整數，則，
所以．
又因時，為正整數，則④
據③④，即時，成立．
由1，2知，對任意，．