Question

在等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20項和S₂₀=230．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）現分別從{a_n}和{b_n}的前4中各隨機抽取一項，寫出相應的基本事件，并求所取兩項中，滿足a_n＞b_n的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20項和S₂₀=230，求得a₁=2，b₁=1，q=2，d=1，由此能求出a_n和b_n．
（Ⅱ）分別從{a_n}，{b_n}中的前三項中各隨機抽取一項，得到基本事件有16個，符合條件a_n＞b_n的有8個，由此能求出滿足a_n＞b_n的概率．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，
∵a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20項和S₂₀=230，
∴a₁=2，b₁=1，
∴

q5=32 20×2+ 20×19 2 d=230

，
解得q=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
b_n=1×2^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）分別從{a_n}，{b_n}中的前三項中各隨機抽取一項，
得到基本事件（2，1），（2，2），（2，4），（2，8），（3，1），（3，2），
（3，4），（3，8），（4，1），（4，2），（4，4），（4，8），（5，1），
（5，2），（5，4），（5，8），有16個，
符合條件a_n＞b_n的有8個，
故滿足a_n＞b_n的概率為

1

2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查概率的計算，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．