Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a，其中（a≠0）
（1）若函數(shù)在（-∞，2]上單調(diào)遞增，求a的范圍；
（2）若f（lgx）=0的兩根之積為10，求a的值；
（3）若g（x）=

f(x)

a

，是否存在實(shí)數(shù)a，使得g（g（x））=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根？若存在，求出a的值或者范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得a的范圍；
（2）設(shè)lgx=t，則得到方程at²+（2a+1）t+1-3a=0，則t1+t2=-

2a+1

a

=lg(x1x2)=1，x₁，x₂是原方程的兩實(shí)根，這樣解出a即可；
（3）先求g（x）=x2+

2a+1

a

x+

1-3a

a

，求得△=

1

a2

+16＞0，所以方程g（x）=0有兩不等實(shí)根．而由g（g（x））=0得，g2(x)+

2a+1

a

g(x)+

1-3a

a

=0，所以可令g（x）=t，所以t2+

2a+1

a

t+

1-3a

a

=0，而該方程有兩不等實(shí)根，并設(shè)為t₁，t₂，所以有g(shù)（x）=t₁，或g（x）=t₂，根據(jù)題意便知這兩個(gè)方程只有一個(gè)解，并且可設(shè)g（x）=t₁無(wú)解，g（x）=t₂有一個(gè)解，根據(jù)判別式的取值情況即可得到

t1＜-4 t2＜-4

，而根據(jù)韋達(dá)定理即可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即得a的取值．

解答： 解：（1）f（x）為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=

2a+1

-2a

；
∴若函數(shù)在（-∞，2]上單調(diào)遞增，則：

a＜0 2a+1 -2a ≥2

，解得，-

1

6

≤a＜0；
∴a的范圍為[-

1

6

，0）；
（2）設(shè)f（lgx）=0的兩根為x₁，x₂，令t=lgx，則：
t₁=lgx₁，t₂=lgx₂為方程at²+（2a+1）t+1-3a=0的兩根；
則：∴t₁+t₂=lgx₁+lgx₂=lgx₁x₂=lg10=1；
即：t1+t2=

2a+1

-a

=1，∴a=-

1

3

；
經(jīng)檢驗(yàn)a=-

1

3

時(shí)，原方程有兩個(gè)根，所以a的值為-

1

3

；
（3）g（x）=

f(x)

a

=x2+

2a+1

a

x+

1-3a

a

，令

2a+1

a

=p，

1-3a

a

=q；
因?yàn)?span id="aguamsm" class="MathJye">△=p2-4q=

1

a2

+16＞0恒成立，則方程x²+px+q=0有兩不等實(shí)根；
由g（g（x））=0得，g²（x）+pg（x）+q=0，令g（x）=t，則得到：
t²+pt+q=0，該方程有兩不等實(shí)根，設(shè)為t₁，t₂，則：
g（x）=t₁，或g（x）=t₂，（t₁≠t₂）；
即x2+px+q=t1，或x2+px+q=t2，根據(jù)題意，這兩個(gè)方程只有一個(gè)解；
不妨設(shè)x²+px+q=t₁無(wú)解，x²+px+q=t₂只有一個(gè)解；
∴

△1=p2-4(q-t1)＜0 △2=p2-4(q-t2)=0

；
∴

t1＜q- p2 4 t2=q- p2 4

；
又q-

p2

4

=

1-3a

a

-

(2a+1)2

4a2

=

1

a

-3-1-

1

a

-

1

4a2

＜-4；
∴

t1＜-4 t2＜-4

；
即方程t²+pt+q=0的兩根都小于-4；
根據(jù)韋達(dá)定理得：

- 2a+1 a ＜-8 g(-4)= 5a-3 a ＞0

，解得：a∈∅；
所以不存在這樣的a．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，韋達(dá)定理，一元二次方程解的情況和判別式△的關(guān)系．