Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4， 是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合．
（I）當(dāng)時(shí)，求證：；
（II）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．

Answer 1

解法一：過E作于N，連結(jié)EF．

（I）如圖1，連結(jié)NF、，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC側(cè)面．
又底面側(cè)面=AC，且底面ABC，所以側(cè)面，
∴NF為EF在側(cè)面內(nèi)的射影，
在中，=1，則由，得NF//，
又故，由三垂線定理知
（II）如圖2，連結(jié)AF，過N作于M，連結(jié)ME，由（I）知側(cè)面，
根據(jù)三垂線定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．
設(shè)，在中，
在故
又，故當(dāng)即當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，
，此時(shí)F與重合．
解法二：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得

于是
故
（II）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，
則由（I）得，
于是由可得

取
又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面
的一個(gè)法向量為，
于是由為銳角可得，∴，
由，得，即
故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值

略