Question

【題目】如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求證：FC∥平面EAD；

（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設與相交于點，連接，因為四邊形為菱形，所以，且為中點，由，知，由此能夠證明平面；（Ⅱ）因為四邊形與均為菱形，所以，平面平面，由此能夠證明平面；（Ⅲ）因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，因為為中點，所以，故平面，由兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設，因為四邊形為菱形， ，則，所以， ，求得平面的法向量為，平面的法向量為，由此能求出二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：設AC與BD相交于點O，

連接FO．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點．

又 FA=FC，所以 AC⊥FO．

因為 FO∩BD=O，

所以 AC⊥平面BDEF．

（Ⅱ）證明：因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，

所以AD∥BC，DE∥BF，

所以 平面FBC∥平面EAD．

又FC平面FBC，所以FC∥平面EAD．

（Ⅲ）解：因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，

所以△DBF為等邊三角形．

因為O為BD中點，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．

由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz． …（9分）

設AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，

則BD=2，所以OB=1，．所以 ．

所以 ，．

設平面BFC的法向量為=（x，y，z），

則有，

取x=1，得．

∵平面AFC的法向量為=（0，1，0）．

由二面角A﹣FC﹣B是銳角，得|cos＜，＞|==．

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值為．