Question

【題目】已知函數在點處的切線方程為.

（1）若函數在時有極值，求的解析式；

（2）函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x3－2x2＋4x－3(2) [4，＋∞)

【解析】試題分析：（1）對函數求導，由題意點P（1，-2）處的切線方程為，可得，再根據，又由聯立方程求出a，b，c，從而求出f（x）的表達式．
（2）由題意函數f（x）在區間[-2，0]上單調遞增，對其求導可得f′（x）在區間[-2，0]大于或等于0，從而求出b的范圍．

試題解析：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函數f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，即2a＋b＝0， ①

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. ②

(1)函數f(x)在x＝－2時有極值，

所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0， ③

由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.

(2)因為函數f(x)在區間[－2，0]上單調遞增，所以導函數f′(x)＝－3x2－bx＋b在區間[－2，0]上的值恒大于或等于零，則

得b≥4，所以實數b的取值范圍是[4，＋∞)．