Question

【題目】橢圓： 的離心率為，過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點， .

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的左頂點為，右頂點為，點是橢圓上的動點，且點與點， 不重合，直線與直線相交于點，直線與直線相交于點，求證：以線段為直徑的圓恒過定點.

Answer 1

【答案】(1) . (2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，則橢圓C的標準方程為.

(2)由題意可得，結合題意可得圓的方程為，則以線段ST為直徑的圓恒過定點.

試題解析：

（1）解： ，又，聯立解得： ，

所以橢圓C的標準方程為.

（2）證明：設直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為，

聯立得.

，

整理得： ，故，

又， (分別為直線PA，PB的斜率)，

所以，

所以直線PB的方程為： ，

聯立得，

所以以ST為直徑的圓的方程為： ，

令，解得： ，

所以以線段ST為直徑的圓恒過定點.