Question

設數列{a_n}是公差為d的等差數列，其前n項和為S_n.
已知a₁＝1，d＝2，
①求當n∈N^*時，的最小值；
②當n∈N^*時，求證：＋＋…＋<；

Answer 1

(1)的最小值是16.
②證明：見解析。

本試題主要是考查了數列的通項公式的求解以及數列求和的綜合運用。
（1）根據已知條件，先得到通項公式，然后根據等差數列的前n項和公式得到最值。
（2）并結合第一問中的結論，得通項公式可知裂項，然后再求解和。
(1)①∵a₁＝1，d＝2，
∴S_n＝na₁＋＝n²，
＝n＋≥2＝16，
當且僅當n＝，即n＝8時，上式取等號，
故的最小值是16.
②證明：由①知S_n＝n²，
當n∈N^*時，，
＋＋…＋
＝＋＋…＋