Question

（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD//BC且AD﹥BC，∠DAB=∠ABC=90°，PA=，AB=BC=1。M為PC的中點。

（1）求二面角M—AD—C的大小；(6分)
（2）如果∠AMD=90°，求線段AD的長。（6分）

Answer 1

（1）
（2）2

（1）取AC的中點H，連MH，則MH//PA，所以MH⊥平面ABCD，過H作HN⊥AD于N，連MN，由三垂線定理可得MN⊥AD，則∠MNH就為所求的二面角的平面角

AH
在Rt△ANH中，
則在Rt△MHN中，
故所示二面角的大小為
（2）若AM⊥MD，又因為PA=AC=，M為PC的中點，
則AM⊥PC，所以AM⊥平面PCD，則AM⊥CD。
AM在平面ABCD的射影為CD，由三垂線定理可知其等價于AC⊥CD，
此時△ACD為等腰直角三角形，所以AD=AC=2