Question

【題目】已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一點．過點E的平面α垂直于平面SAC．

（1）請作出平面α截四棱錐S﹣ABCD的截面（只需作圖并寫出作法）；
（2）當SA=AB時，求二面角B﹣SC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，

∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

則BD⊥平面SAC，

若點E的平面α垂直于平面SAC，

則平面α 與底面的交線平行于BD即可．

（2）解：如圖所示建立空間直角坐標系，

點A為坐標原點，AB，AD，AS所在的直線分別為x，y，z軸．設AB=1．

由題意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），

=（1，0，﹣1），又 =（1，1，﹣1）

設平面BSC的法向量為 （x1，y1，z1），則

，令z1=1，則 =（1，0，1，

=（0，﹣1，1） =（1，0，0），

設平面SCD的法向量為 =（x2，y2，z2），則

，令y2=1，則 =（0，1，1），

設二面角B﹣SC﹣D的平面角為α，則

|cosα|= = = ．

顯然二面角B﹣SC﹣D的平面角為α為鈍角，所以α=120°，

即二面角C﹣PB﹣D的大小為120°

【解析】（1）根據條件先證明BD⊥平面SAC，則面α 與底面的交線平行于BD即可；（2）建立空間直角坐標系，求出平面BSC、平面SCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B﹣SC﹣D的大小．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的性質，掌握兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直即可以解答此題．