Question

設O為坐標原點，曲線x²+y²+2x－6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關于直線x+my+4=0對稱，又滿足·=0.
（1）求m的值；
（2）求直線PQ的方程.

Answer 1

（1）m=－1    （2）y=－x+1.

（1）曲線方程為（x+1）²+（y－3）²=9表示圓心為（－1，3），半徑為3的圓.
∵點P、Q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱，
∴圓心（－1，3）在直線上.代入得m=－1.
（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，
∴設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=－x+b.
將直線y=－x+b代入圓方程，得2x²+2（4－b）x+b²－6b+1=0.
Δ=4（4－b）²－4×2×（b²－6b+1）>0，得2－3<b<2+3.
由韋達定理得x₁+x₂=－（4－b），x₁·x₂=.
y₁·y₂=b²－b（x₁+x₂）+x₁·x₂=+4b.
∵·=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²－6b+1+4b=0.
解得b=1∈（2－3，2+3）.∴所求的直線方程為y=－x+1.