Question

【題目】已知數列中， ， ， ．數列的前n項和為，滿足， ．

（1）求數列的通項公式；

（2）數列能否為等差數列？若能，求其通項公式；若不能，試說明理由；

（3）若數列是各項均為正整數的遞增數列，設，則當， ， 和， ， 均成等差數列時，求正整數， ， 的值．

Answer 1

【答案】（1）， ． （2），或．

（3）存在， ， 或， ， 滿足條件．

【解析】試題分析：

(1)利用遞推公式構造新數列為等比數列可求得數列的通項公式為.

(2)假設數列可以是等差數列，分類討論可得，或.

(3)由題意討論r,s,t的關系，構造函數，

結合函數的性質討論可得存在， ， 或， ， 滿足條件．

試題解析：

（1）由，得，

又，所以是首項為3，公比為2的等比數列，

則，故， ．

（2）由，得，

兩式相減得，即．①

若是等差數列，設公差為，則，

因為，所以．

又，即，

解得，或．

當時， ，滿足條件；

當時， ，也滿足條件．

故，或．

（3）由是各項均為正整數的遞增數列，得②，

故， ，

故由①式可得，所以．

又由①式可知是偶數，所以．

代入①式得，所以是等差數列．

由（2）知， ，

所以．

若 ，由正整數，知， ．

當時，

．

因此要式成立，只能有．

由式得，

即．

又， ，所以，

顯然是方程的解．

當時，設函數，

則，

故在上是增函數，所以方程僅有兩解．

因此，存在， ， 或， ， 滿足條件．